X^2+1+|x+1|>0
|х|>0
Как это решить?
Получается хрень: при х неравном 0, х^2+|х-1|>-1.
Логично, блин, а дальше?

$1>0$ так как $x^2 geq 0$ то прибавив $x^2$ к единице получится равносильное неравенство $x^{2} +1>0$ которое справедливо при $x$ ∈ $R$ так как $|x+1| geq 0$ аналогично получаем $x^{2} +1+|x+1|>0$ которое справедливо при $x$ ∈ $R$ т.е ответ любое число

можно раскрыть модуль как хотите с ненужной писаниной:
1) $x+1 geq 0$ $x geq -1$
$x^{2} +1+x+1>0; x^{2} +x+2>0; x^{2} +x+2=0;D=-7$ парабола ветви вверх, значит с учетом раскрытия $x geq -1$
2) $x<-1$
$x^{2} +1-x-1>0$ $x(x-1)>0$ методом интервалов получим $x<0;x>1$ с учетом раскрытия модуля $x<-1$
исходя из 1) и 2) получаем $x$ ∈ $R$ т.е любое число