2.1-составить уравнение касательной и нормали к заданной к кривым в точке с абсциссой х0.
3.1-найти производные dy/dx для функций,заданных в параметрическом виде

2.1)
а) 1. Найдем производную функции:
$y(x)=4x^{3}$
2. Найдем значение производной в точке х0:
$y(x_{0})=y(1)=4*1^{3}=4$
3. Запишем уравнение касательной:
$Y=y(x_{0})+y(x_{0})*(x-x_{0})$
$y(x_{0})=y(1)=1-3=-2$
$Y=-2+4*(x-1)=4x-2-4=4x-6$
4. Уравнение нормали:
$F=y(x_{0})- frac{1}{y(x_{0})}*(x-x_{0})$
$F=-2- frac{1}{4}*(x-1)=-frac{x}{4}-2+frac{1}{4}=-frac{x}{4}-frac{7}{4}$

б) $y^{3}=-3x^{2}-15$
$y= sqrt[3]{-3x^{2}-15}$
$y(x)=(sqrt[3]{-3x^{2}-15})=-frac{2x}{sqrt[3]{(-3x^{2}-15})^{2}}$
$y(x_{0})=y(2)=-frac{2*2}{sqrt[3]{(-3*2^{2}-15})^{2}}=-frac{4}{sqrt[3]{(-27})^{2}}=-frac{4}{sqrt[3]{3^{6}}}=-frac{4}{9}$
$y(x_{0})=y(2)=sqrt[3]{-3*4-15}=sqrt[3]{-27}=-3$
$Y=-3-frac{4}{9}*(x-2)=-frac{4}{9}*x-3+frac{8}{9}=-frac{4}{9}*x-frac{19}{9}$
$F=-3-frac{9}{4}*(x-2)=-frac{9}{4}*x+frac{9}{2}-3=-frac{9}{4}*x+frac{3}{2}=-2.25x+1.5$

3.1)
1. Найдем дифференциалы обеих частей каждого из равенств:
$left { {{dx=x_{t}dt=-(sint)dt} atop {dy=y_{t}dt=(1+cost)dt}} right.$

2. Разделим второе уравнение на первое:
$frac{dy}{dx}=y_{x}=frac{y_{t}dt}{x_{t}dt}=-frac{1+cost}{sint}$
Это и есть первая производная от функции, заданной параметрически.

3. Для нахождения второй производной необходимо выполнить преобразования:
$frac{d^{2}y}{d^{2}x}=y_{xx}=(y_{x})=frac{(y_{x})_{t}}{x_{t}}=frac{(-frac{1+cost}{sint})}{-sint}=frac{frac{(-sint)*sint-(1+cost)*cost}{sin^{2}t}}{sint}=frac{-sin^{2}t-cost-cos^{2}t}{sin^{3}t}=frac{-1-cost}{sin^{3}t}=-frac{1+cost}{sin^{3}t}$