Помогите решить пример,с подробным описанием хода решения,пожалуйста.
Буду очень признателен и отблагодарю.
Найти частные производные второго порядка функции многих переменных:
$u=xz*tg sqrt{y}$

Для начала найдём частные производные 1-ого порядка. Всего их 3(т.к. 3 переменные).

$u_x=(xz*tgsqrt{y})_x=z*tgsqrt{y}$
$u_y=(xz*tgsqrt{y})_y=xz*frac{1}{cos^2sqrt{y}}*(sqrt{y})=frac{xz}{2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})}u_z=(xz*tgsqrt{y})_z=xtgsqrt{y}$

Когда мы считаем производную по какой-то переменной, то мы считаем что все остальные переменные независимые. К примеру:
$w=2xrightarrow w_x=2w=yxrightarrow w_x=y (w_y=x)w=y+xrightarrow w_x=1 (w_y=1)$
Грубо говоря когда мы ищем производную по x, мы считаем что у это какое-то число. Надеюсь это понятно.

Теперь частные производные второго порядка.
Рассмотрим производную по х. Во второй раз мы может взять её опять же по 3 переменным.
$u_{x^2}=(z*tgsqrt{y})_x=0u_{xy}=(z*tgsqrt{y})_y=frac{z}{2sqrt{y}*cos^2sqrt{y}}u_{xz}=(z*tgsqrt{y})_z=tgsqrt{y}$

Теперь рассматриваем производную по у. Её 2-уй производную берём снова по 3-ём переменным.
$u_{yx}=(frac{xz}{2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})})_x=frac{z}{2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})}$

$u_{y^2}=(frac{xz}{2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})})_y=frac{(xz)_y*2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})-xz*(2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y}))_y}{(2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y}))^2}==frac{-2xz*(frac{1}{2sqrt{y}}*cos^2(sqrt{y})+sqrt{y}*2cos(sqrt{y})*(-sinsqrt{y})*frac{1}{2sqrt{y}})}{4ycos^4(sqrt{y})}==frac{-2xz*frac{cossqrt{y}}{2sqrt{y}}(cos(sqrt{y})-2sqrt{y}sin(sqrt{y}))}{4ycos^4(sqrt{y})}=frac{-xz(cos(sqrt{y})-2sqrt{y}sin(sqrt{y}))}{4sqrt{y^3}cos^3(sqrt{y})}$

$u_{yz}=(frac{xz}{2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})})_z=frac{x}{2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})}$

Заметим что:
$u_{xy}=u_{yx}$
Такие равенства выполняются и для других смешанных производный, то есть: $u_{xz}=u_{zx}$

И наконец рассмотрим производную по z. Опять же 3 варианта. Но теперь мы воспользуемся равенством рассмотренным выше.
$u_{zx}=u_{xz}=tgsqrt{y}u_{zy}=u_{yz}=frac{x}{2sqrt{y}*cos^2(sqrt{y})}u_{z^2}=(xtg(sqrt{x}))_z=0$

Ну вот и всё. Будут вопросы - спрашивайте.