Друзья, выкладываю интересную задачу с параметром(для хорошо разбирающихся в математике). Решал задачу, получил одну пару значений параметра: (-6;7). Хочется увидеть ваши варианты решения. основное условие: нельзя решать графически, только аналитическими методами.Задача такая.
Найдите все пары действительных чисел (a,b), для каждой из которых следующее неравенство не имеет ни одного решения на отрезке [1;5].

Хоть решать графически и нельзя, но представить себе график функции, безусловно, можно. Итак, это парабола с ветвями, направленными вверх. Нам нужно найти такие параметры параболы, чтобы на отрезке [1; 5] эта парабола находилась в пределах от -2 до 2.
Найдём минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Как известно, минимальное/максимальное значение функции на отрезке может достигаться на концах этого отрезка или в точке, где производная равна нулю:
$y(x)=x^2+ax+by(1)=1+a+by(5)=25+5a+by(x)=2x+a=0;x=-frac{a}{2}y(-frac{a}{2})=frac{a^2}{4}-frac{a^2}{2}+b=frac{-a^2+4b}{4}$

Теперь запишем несколько неравенств нахождения значения функции в промежутке, одновременно преобразовывая их:
$-2leq 1+a+bleq 2-3leq a+bleq 1-2leq 25+5a+bleq 2-27leq 5a+bleq -23$

Вычтем из второго неравенства первое:
$-24leq 4aleq -24$

Итак, 4a должно равняться -24! Следовательно, a = -6; подставим это значение во все неравенства (в качестве проверки и нахождения b):
$-3leq -6+bleq 13leq bleq 7-27leq 5*(-6)+bleq -233leq bleq 7-2leq frac{-a^2+4b}{4}leq 2-8leq -36+4bleq 87leq bleq 11$
Итак, b может равняться только 7.

Ответ: a = -6; b = 7.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы