$sqrt{ x^{2} +4x +8} + sqrt{ x^{2} +4x+4} = sqrt{2( x^{2}+4x+6) }$ . Помогите решить.

ОДЗ: $begin{cases} & text{ } x^2+4x+8 geq 0 & text{ } x^2+4x+4 geq 0 & text{ } x^2+4x+6 geq 0 end{cases} Leftrightarrow x in R$

Произведем замену переменных
Пусть $x^2+4x+4=t$ , причем видим что x²+4x+4=(x+2)² и $t geq 0$
В результате замены переменных получаем исходное уравнение
$sqrt{t+4}+ sqrt{t} = sqrt{2t+4}$
Возведем оба части до квадрата
$(sqrt{t+4}+ sqrt{t})^2 =( sqrt{2t+4} )^2 t+4+t+2 sqrt{t(t+4)}=2t+4 2 sqrt{t(t+4)}=0 t_1=0$
$t_2=-4$ - не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене
$(x+2)^2=0 x+2=0 x=-2$

Окончательный ответ: $-2.$