Исследуйте функцию и постройте график: f(x)=4x²-0,5х(в 4 степени)

Исследуем функцию $f(x)=4x^2-0.5x^4$
1. Область определения функции: $D(f)=R$

2. Точки пересечения с осью Ох и Оу
2.1. С осью Ох (это значит что y=0)
$4x^2-0.5x^4=0 x^4-8x^2=0 x^2(x^2-8)=0 x_1=0 x_2_,_3=pm2 sqrt{2}$
$(0;0),(2 sqrt{2};0),(-2 sqrt{2};0)$ - точки пересечения с осью Ох
2.2. С осью Оу (если х=0)
$f(x)=4cdot 0^2-0.5cdot 0^4=0$
$(0;0)$ - точки пересечения с осью Оу

3. Точки эктремумы (возрастание и убывание функции)
Производная функции
$f(x)=(4x^2-0.5x^4)=8x-2x^3$
Приравниваем ее к нулю
$f(x)=0 8x-2x^3=0 2x(4-x^2)=0 x_1=0 x_2_,_3=pm2$

__+__|__-___|___+__|___-__
-2 0 2
Функция возрастает на промежутке $(-infty;-2)$ и $(0;2)$ , а убывает - $(-2;0)$ и $(2;+infty)$ . В точке $x=pm2$ функция имеем локальный максимум, а в точке $x=0$ - локальный минимум

4. Точки перегиба
Вторая производная
$y=8-6x^2 8-6x^2=0 x_1_,_2=pm frac{2 sqrt{3} }{3}$

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Функция $f(x)$ называется четной, если $f(-x)=f(x)$
$f(-x)=4cdot (-x)^2-0.5cdot (-x)^4=4x^2-0.5x^4$
Функция четная, график симметричен относительно оси f