На доске написанно число 8⁹⁹. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число?

Это значит нужно найти остаток от деления данного числа на $9$ , все это исходит от теоремы Паскаля

То есть нужно найти
$8^{99}=9x+y$ , найти $y$
остатки у числа повторяются $8;1$ , когда число в нечетной и четной степенях
$99=2*49+1$ , то есть ответом будет число $8$