Найти значение параметра, хотя бы один корень.
$a^{2} -10a+ 5sqrt{ x^{2} +25} =4|x-5a|-8|x|$

Перенесем $a^2-10a$ в правую часть , получим $4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)$ , впишем функцию $y=4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)$
Рассмотрим два случая когда $a geq 0; a textless 0$
Случаи $a geq 0$ при этом решения $y=0$ будут

$4|x-5a|-8|x|-(a^2-10a)=0 x geq 0 a geq 0$
Получаем две точки
$-----0-------5a----- textgreater - -$
То есть получим два решения
$20a-4x+8x-a^2+10a=0 x=frac{a^2-30a}{4} 20a-4x-8x-(a^2-10a)=0 -12x+30a-a^2=0 x=frac{30-a^2}{12}$

Случаи $a textless 0$
Получаем так же два случая , и решения его
$x=frac{a^2+10a}{12} x=frac{-a^2-10a}{4}$

То есть график ломанной прямой проходит через выше сказанные точки , максимальное значение достигает при
   $x=0 a textless 0 20a-(a^2-10a) a geq 0 -20a-(a^2-10a)$

График левой части
$y=5sqrt{x^2+25}$ , парабола , $x^2 neq -25 f(0)=25$ , то есть ветви направлены вверх , и минимальное значение достигается в точке $x=0; f_{min}=25$

Значит нужно решить неравенство
$1)-20a-(a^2-10a) geq 25 a textless 0 -20a-a^2+10a geq 25 -a^2-10a-25 geq 0 a^2+10a+25 leq 0 a=-5 textless 0 2)20a-(a^2-10a) geq 25 20a-a^2+10a-25 geq 0 a^2-30a+25 leq 0 D=900-4*1*25 a=15-10sqrt{2} a=15+10sqrt{2}$

То есть ответ $a in -5 cup [ 15-10 sqrt{2} ; 15+10sqrt{2}]$