Найти наименьшее значение выражения:
$(1+cos^22alpha)*(1+tg^2alpha)+4sin^2alpha$

$(1+cos^22 alpha )*(1+tg^2 alpha )+4sin^2 alpha =(1+cos^22 alpha )* frac{1}{cos^2 alpha } +4sin^2 alpha =$ $frac{1+cos^22 alpha +4sin^2 alpha cos^2 alpha }{cos^2 alpha } = frac{1+cos^22 alpha +sin^22 alpha }{cos^2 alpha } = frac{2}{cos^2 alpha } =2*(1+tg^2 alpha )=$ $2+2tg^2 alpha$

так как $tg^2 alpha$ есть число неотрицательное, т. е. $tg^2 alpha geq 0$ , то минимальное значение принимается, когда выражение равно нулю, тогда
$2+2tg^2 alpha =2+2*0=2$

Ответ: $2$