При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: $frac{8 x^{2} -20x+16}{4 x^{2} +10x+7} leq a$ ?

$dfrac{8 x^{2} -20x+16}{4 x^{2} +10x+7} leq a$

рассмотрим знаменатель
$4 x^{2} +10x+7=0D textless 0$
нет корней, вестви вверх, значит знаменатель принимает только положительные значения

умножим на знаменатель обе части неравества (знак не меняется, т.к. знаменатель при любом икс - положительное число)

$8x^2-20x+16 leq acdot(4 x^{2} +10x+7)4x^2cdot(2-a)-10xcdot(2-a)+(16-7a) leq 0$
1) если а=2
$4x^2cdot(2-2)-10xcdot(2-2)+(16-7cdot 2) leq 016-14 leq 02 leq 0$
неверное равенство
2) если а≠2
имеем квадратное неравенство
2.1) если а<2, ветви паарболы вверх (т.к. коэффициент при х^2 будет положительный), поэтому неравенство ≤0 не будет выполняться при всех икс
2.2) если а>2, то ветви параболы вниз. Неравенство выполняется если парабола расположена не выше оси ОХ
это выполняется при всех икс если D≤0
$4x^2cdot(2-a)-10xcdot(2-a)+(16-7a) leq 0D=100(2-a)^2-16(2-a)(16-7a)=-12a^2+80a-112-12a^2+80a-112 leq 0-12(a-2)(a- frac{14}{3} ) leq 0(a-2)(a- frac{14}{3} ) geq 0ain[-infty;2]cup[ frac{14}{3} ;+infty)$
значит a≥14/3

ЗЫ: в расчетах может быть опечатка