На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа 5,5; 18; 38; 75,5 и 175,5 в некотором порядке. Найдите N.

Пусть числа разбиты на 5 частей так:
123....k (k+1).... p (p+1)....s (s+1).....n (n+1)..... N
k чисел (р-k) чисел (s-p) чисел (n-s) чисел (N-n) чисел

Среднее арифметическое чисел первой группы
$frac{1+2+...+k}{k}=5,5Rightarrow 1+2+3+...+k=5,5k$
Слева сумма k членов арифметической прогрессии
$frac{1+k}{2}cdot k=5,5k 1+k=11 k=10$

Среднее арифметическое чисел второй группы
$frac{(k+1)+(k+2)+...+p}{p-k}=18 k=10 frac{11+12+...+p}{p-10}=18 frac{ frac{11+p}{2}cdot (p-10) }{p-10}=18 11+p=36 p=25$

Среднее арифметическое чисел третьей группы
$frac{(p+1)+(p+2)+...+s}{s-p}=38 p=25 frac{26+27+...+s}{s-25}=38 frac{ frac{26+s}{2}cdot (s-25) }{s-25}=38 26+s=76 s=50$

Среднее арифметическое чисел четвертой группы
$frac{(s+1)+(s+2)+...+n}{n-s}=75,5 s=50 frac{51+52+...+n}{n-50}=75,5 frac{ frac{51+n}{2}cdot (n-50) }{n-50}=75,5 51+n=151 n=100$

Среднее арифметическое чисел пятой группы
$frac{(n+1)+(n+2)+...+N}{N-n}=155,5 n=100 frac{101+102+...+N}{N-100}=175,5 frac{ frac{101+N}{2}cdot (N-100) }{N-100}=175,5 101+N=351 N=250$
Ответ N=250