Решить уравнение
X^4+6x^3-21x^2+78x-16=0

Решено с помощью одного пользователя на сайте:

$x^4+6x^3-21x^2+78x-16=0$

Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd= x^4+(cx^3+ax^3)+(dx^2+acx^2+bx^2)+(adx+bcx)+bd= x^4+x^3(c+a)+x^2(d+a+b)+x(ad+bc)+bd$
Здесь применяем наше уравнение:

$c+a=6 d+ac+b=-21 ad+bc=78 bd=-16$

Решаем систему:

$left{ begin{aligned} c+a&=6 d+ac+b&=-21 ad+bc=78 bd=-16 end{aligned} right.$

Такую систему решаем с помощью подстановки.
Возьмем $bd=-16$
Вариантов такого решения несколько. Вот они:

$left { {{b=-2} atop {d=8}} right.; left { {{b=2} atop {d=-8}} right.; left { {{b=4} atop {d=-4}} right.; left { {{b=-4} atop {d=4}} right.; left { {{b=1} atop {d=-16}} right.; left { {{b=-1} atop {d=16}} right..$

Надо найти такую пару, чтобы она удовлетворяла нашему уравнению!
Итак,

$a=6-cb=-2c=?d=8$

Подставляем его в третье уравнение нашей системы:

$ad+bc=78 (6-c)cdot 8+(-2) cdot c=78 48-8c-2c=78-10c=30 c=-3$

Значит, мы имеем:

$a=6+3=9b=-2c=-3d=8$

Для проверки подставим все значения во второе уравнение нашей системы:

$8+9cdot (-3)-2=-21 8-27-2=-21 -21=-21$

Значит, мы верно выбрали пару. Остальные пары нам не подходят.
Все значения подставляем в два квадратных уравнения:

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d=0) (x^2+9x-2)(x^2-3x+8)=0$

Решаем каждое уравнение в отдельности:

$x^2+9x-2=0 a=1, b=9, c=-2 D=b^2-4ac=81+8=89; D= sqrt{89} x_{1/2}= frac{-bpm sqrt{D} }{2a}= frac{-9pm sqrt{89} }{2} x_1=frac{sqrt{89} }{2}-4 frac{1}{2} x_2=-frac{sqrt{89} }{2}-4frac{1}{2}$

$x^2-3x+8=0 D=9-32=-23$

Нет действительных решений.

Ответ: $x_1=frac{sqrt{89} }{2}-4 frac{1}{2}; x_2=-frac{sqrt{89} }{2}-4 frac{1}{2}$