Вычислить:
$sqrt{47-4 sqrt{33} }+ sqrt{47+4 sqrt{33} }$

Пусть $sqrt{47-4 sqrt{33} } + sqrt{47+4 sqrt{33} } =A$

Возведём правую и левую части в квадрат:
$(sqrt{47-4 sqrt{33} } + sqrt{47+4 sqrt{33} })^2 =A^2$

$47-4 sqrt{33} +47+4 sqrt{33} +2 sqrt{(47-4 sqrt{33})(47+4 sqrt{33})} =A^2$

$94+2*sqrt{47^2-(4 sqrt{33)}^2 } =A^2$

$94+2*sqrt{2209-528} =A^2$

$94+ 2*sqrt{1681} =A^2$

$94+2*41=A^2$

$A^2=176$

$A=$ ± $sqrt{176}$

$A=$ ± $4 sqrt{11}$

Так как арифметический корень из некоторого числа есть число неотрицательное, то и сумма корней - число неотрицательное
Значит $A=4 sqrt{11}$

$sqrt{47-4 sqrt{33} } + sqrt{47+4 sqrt{33} } =4 sqrt{11}$