Найдите множество решений системы
$left { {{x^2+xy+y^2=7} atop {x+xy+y=5}} right.$

$begin{cases} x^2+xy+y^2=7 x+xy+y=5 right end{cases}$
В первом уравнении выделим полный квадрат:
$begin{cases} x^2+2xy+y^2-xy=7 x+xy+y=5 right end{cases} begin{cases} (x+y)^2-xy=7 x+y+xy=5 right end{cases}$
Для удобства переобозначим: x+y=a; xy=b
$begin{cases} a^2-b=7 a+b=5 right end{cases}$
Складываем уравнения:
$a^2+a=12 a^2+a-12=0 D=1^2-4cdot1cdot(-12)=49 a_1= frac{-1-7}{2} =-4 a_2= frac{-1+7}{2} =3 b=5-a b_1=5-a_1=5-(-4)=9 b_2=5-3=2$
Возвращаемся к исходным переменным:
$left[ begin{matrix} begin{cases} x+y=-4 xy=9 right end{cases} begin{cases} x+y=3 xy=2 right end{cases} end{matrix}right.$
Решаем первую систему:
$begin{cases} x+y=-4 xy=9 right end{cases} x=-y-4 (-y-4)y=9 -y^2-4y=9 y^2+4y+9=0 y^2+4y+4+5=0 (y+2)^2=-5$
Система не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным
Решаем вторую систему:
$begin{cases} x+y=3 xy=2 right end{cases} x=3-y (3-y)y=2 3y-y^2=2 y^2-3y+2=0 (y-1)(y-2)=0 y_1=1Rightarrow x_1=3-1=2 y_2=2Rightarrow x_2=3-2=1$
Ответ: (1; 2); (2; 1)