Найдите все многочлены вида f(x)=x^3+ax^2+(a+b)x+b+1 , имеющие целые корни и удовлетворяющие условию 2a+ b=-2 .

$b=-2-2a$
$f(x) = x^3+ax^2+(-2-a)x-2a-1$
Подставим $x=-1$ , получим $0$ , значит корень будет в любом случае равен $x= -1$
$(x-1)( x^2+x(a-1)-2a-1) = 0 x^2+x(a-1)-2a-1 = 0 D=a^2+6a+5$ Рассмотрим выражение a^2+6a+5=k^2 , так как корни квадратного уравнения имеют вид x1,2=(1-a+/-k)/2 и целыми , то k- должно быть по крайней мере не иррациональным числом .a^2+6a+5 = (a-3)^2-4=k^2(a+k+3)(a-k+3)=4 , пусть они соотвественно равны x*y=4, рассмотрим случаи x*y={1*4, 4*1, 2*2, -2*-2, -4*-1, -1*-4} по порядку . Первый случай{a+k+3=1{a-k+3=4Суммируя оба выражения ,получаем решения a=-1/2, k=-3/2, подставляя в общий вид корня уравнения x1,2 получим не целые значения , рассмотрев аналогично все случаи подходят лишь 1)x=2,y=2 и 2)x=-2,y=-2.При1) получаем решение a=-1, k=02) получаем решение a=-5, k=0При этом корни целые.Значит a=-1 , b=0 и a=-5, b=8.