Опубликовано 13.06.2017 по предмету Алгебра от Гость >> <<

Исследуйте функцию y=e^4x (2-3x) на монотонность и экстремумы.
11 класс, решение без экспоненты нужно.

Ответ оставил Гость

Решение
y = (e^(4*x))*(2-3*x)
1. Находим интервалы возрастания и убывания.
Первая производная.
f(x) = 4*(-3x+2)*e⁴ * x - 3e⁴ * x
или
f(x) = (-12x+5) * e⁴ * x
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(-12x+5)* e⁴ * x = 0
Откуда:
x₁ = 5/12
(-∞ ;5/12)  f(x) > 0 функция возрастает
(5/12; +∞)  f(x) < 0  функция убывает
В окрестности точки x = 5/12 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 5/12 - точка максимума.

2)  Hаходим первую производную функции:
f(x) = 4*(-3x+2)*e⁴ * x - 3e⁴ * x
или
f(x) = (-12x+5) * e⁴ * x
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(-12x+5)* e⁴ * x = 0
Откуда:
x₁ = 5/12
Вычисляем значения функции 
f(5/12) = (3*e⁵/³)/4
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y = 16*(-3x + 2) * e⁴ * x - 24 * e⁴ * x
или
y = (-48x + 8) * e⁴ * x
Вычисляем:
y``(5/2) = ((- 48 *(5/2) + 8) * e⁴ * (5/2) = - (112 * (5/2) * e⁴ = - 280 * e⁴ < 0
Следовательно, в этой точке функция имеет максимум:
y(5/2) = (e^(4*(5/2)))*(2-3*(5/2)) = e¹⁰ * (2 - 15/2) = - 5,5 * e¹⁰
ymax (5/2) =   - 5,5 * e¹⁰