Решите систему уравнений:
3х^2-8ху+4у^2=0
х^2+у^2+13(х-у)=0

$begin{cases} 3x^2-8xy+4y^2=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases} begin{cases} 3x^2-6xy-2xy+4y^2=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases} begin{cases} 3x(x-2y)-2y(x-2y)=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases} begin{cases} (x-2y)(3x-2y)=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases}$
Так как в первом уравнении стоит произведение двух множителей, которое равно нулю, то рассмотрим совокупность двух систем:
$left[begin{array}$ begin{cases} x-2y=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases} begin{cases} 3x-2y=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases} end{array}right.$
Решаем первую систему:
$begin{cases} x-2y=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases} x=2y (2y)^2+y^2+13(2y-y)=0 4y^2+y^2+13y=0 5y^2+13y=0 y(5y+13)=0 y_1=0; x_1=2cdot0=0 5y+13=0; y_2=- frac{13}{5} ; x_2=2cdot(- frac{13}{5} )= -frac{26}{5}$
Решаем вторую систему:
$begin{cases} 3x-2y=0 x^2+y^2+13(x-y)=0 right end{cases} y=1.5x x^2+(1.5x)^2+13(x-1.5x)=0 x^2+2.25x^2-6.5x=0 3.25x^2-6.5x=0 x(3.25x-6.5)=0 x_3=0; y_3=1.5cdot0=0 3.25x-6.5=0; x_4=2 ; y_4=1.5cdot2= 3$
В ответ идут и решения первой и решения второй системы.
Ответ: (0; 0); (-26/5; -13/5); (2; 3)