Тригонометрическое неравенство.
В задании требуется: "найти решение неравенств на указанном промежутке".
Вот два неравенства:
$1)sin2x geq -frac{sqrt3}{2}, quad xin [-pi; pi]; 2)cosfrac{x}{3} textless frac{1}{2}, quad xin [frac{pi}{2}; frac{3pi}{2}].$
Вот ответы моих решений самих неравенств, без выявления решений на указанных промежутках:
$1) 2xin [-frac{pi}{3}+2pi n; frac{4pi}{3}+2pi n], xin [-frac{pi}{6}+pi n; frac{2pi }{3}+pi n]; 2)frac{x}{3}in (frac{pi}{3}+2pi n; frac{5pi}{3}+2pi n),xin (pi +6pi n; 5pi + 6pi n).$
Как быть с промежутками? В первом x ∈ [-π; π], но в неравенстве НЕ x, а 2x, отчего вопрос: надо ли [-π; π] умножать на 2? т.е. x ∈ [-π; π] = 2x ∈ [-2π; 2π] ?
А во втором неравенстве наоборот, делить всё, как точки неравенства, так и указанный промежуток на 3?

Так как уже найден х, то домножать 2 (или делить на 3) нетнеобходимости. В принципе, можно домножить/разделить заданныйпромежуток, найти ответ относительно новой переменной (у=2х или z=х/3) ивернуться к исходной переменной х.

1. Находим пересечение общего решения $xin [-frac{pi}{6}+pi n; frac{2pi }{3}+pi n]$ с заданным промежутком $[-pi; pi]$ . Пересекая, получаем ответ: $xin[-pi; -frac{pi }{3}]cup[-frac{pi}{6}; frac{2pi }{3}]cup[frac{5pi}{6}; pi]$

2. Обозначим $frac{x}{3} =z$ . Тогда, заданный промежуток примет вид $[frac{pi}{6}; frac{pi}{2}]$ . Ищем пересечение общего решения $zin (frac{pi}{3}+2pi n; frac{5pi}{3}+2pi n)$ с промежутком $[frac{pi}{6}; frac{pi}{2}]$ . Пересекая, получаем ответ: $zin( frac{pi }{3}; frac{pi }{2}]$
Возвращаемся к переменной х: $frac{x}{3} in( frac{pi }{3}; frac{pi }{2}]$
Итоговый ответ: $x in( pi ; frac{3pi }{2}]$