X²-12x+13=0
Найти: $frac{1}{12}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})$

$x^2-12x+13=0$
Убедимся, что уравнение имеет корни:
$D_1=(-6)^2-1cdot13=36-13=23 textgreater 0$
Уравнение имеет два корня, но они иррациональны. Находить значение заданного выражения будем используя теорему Виета:
$begin{cases} x_1+x_2=12 x_1x_2=13 right end{cases}$
Рассмотрим выражение $x_1^3+x_2^3$ :
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)= =(x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)= =(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$
Выражение выражено через сумму и произведение корней. Подставляем известные значения:
$frac{1}{12}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})= frac{1}{12}(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)= = frac{1}{2}cdot12cdot(12^2-3cdot 13)=12^2-3cdot 13=144-39=105$
Ответ: 105