При каком наименьшем целом значении параметра а неравенство (a-1)x^2-2x-a>0 справедливо для любого x>3? (Желательно с объяснением)

$(a-1)x^2-2x-a textgreater 0$
Если $a=1$ , то получим линейное неравенство:
$-2x-1 textgreater 0 x textless - frac{1}{2}$
Полученный промежуток не включает в себя заданыый $x textgreater 3$ .
Рассматриваем случай, когда $a neq 1$ - имеем квадратное неравенство.
Заданное неравенство ">0", в зависимости от знака старшего коэффициента общие решения неравенства можно записать в виде:
- если старший коэффициент больше 0: $xin(-infty;x_1)cup(x_2;+infty)$
- если старший коэффициент меньше 0: $xin (x_3;x_4)$
Вывод: необходимо рассмотреть случай с положительным старшим коэффициентом: $a-1 textgreater 0$ , тогда $a textgreater 1$
Решаем неравенство. Приравниваем левую часть к нулю:
$(a-1)x^2-2x-a=0 D_1=(-1)^2-(a-1)cdot(-a)=a^2-a+1$
Получившийся дискриминант всегда больше 0, т.к. $a^2-a+1=a^2-2cdot frac{1}{2} + frac{1}{4} - frac{1}{4} +1=(a- frac{1}{2} )^2+ frac{3}{4} textgreater 0$
$x= frac{1pm sqrt{a^2-a+1} }{a-1} Rightarrow xin(-infty; frac{1-sqrt{a^2-a+1} }{a-1} )cup( frac{1+sqrt{a^2-a+1} }{a-1} ;+infty)$
Чтобы получившийся ответ включал интервал х>3, необходимо потребовать выполнение следующего условия:
$frac{1+sqrt{a^2-a+1} }{a-1} leq 3 frac{1+sqrt{a^2-a+1} -3(a-1)}{a-1} leq 0 frac{4-3a+sqrt{a^2-a+1} }{a-1} leq 0$
Так как в рассматриваемом случае $a-1 textgreater 0$ , то можно перейти к следующему неравенству:
$4-3a+sqrt{a^2-a+1} leq 0 sqrt{a^2-a+1} leq 3a-4 begin{cases} a^2-a+1 leq (3a-4)^2 3a-4 textgreater 0 right end{cases} begin{cases} a^2-a+1 leq 9a^2-24a+16 3a textgreater 4 right end{cases} begin{cases} 8a^2-23a+15 geq 0 a textgreater frac{4}{3} right end{cases} begin{cases} ain(-infty;1]cup[ frac{15}{8} ;+infty) a textgreater frac{4}{3} right end{cases}$
Итоговое решение с учетом рассматриваемого ограничения $a-1 textgreater 0$ : $ain[ frac{15}{8} ;+infty)$
Искомое минимальное целое значение $a_{min; in Z}=2$
Ответ: 2