Представить число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.(Решить с помощью производной)

$x + y = 12, y = 12 - x$
Наша задача максимизировать произведение $f(x) = x(12 - x) = xy$ .
Производная $f(x)$ равна:

$f(x) = (12x - x^2) = 12 - 2x = 0, -2x = -12, boxed{x = 6, y = 6}$

Это точка максимума, т.к. функция $f(x) = 12 - 2x$ принимает положительные значения при $x textless 6$ и отрицательные при $x textgreater 6$
( $f(5) = 2, f(7) = -2$ ).