Исходя из определения предела последовательности докажите, что при n стрелочка бесконечность.
Пример на фото.

Следуя определению предела последовательности:
$/displaystyle a= /lim _{n/rightarrow +/infty} x_n$

Если:
$/forall /epsilon , /exists N /in /mathbb N | /forall n / /textgreater / N /Rightarrow |x_n-a|/ /textgreater / /epsilon$

На понятном языке это так: Число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности $/forall /epsilon$ существует натуральный номер $/exists N/in /mathbb N$ - такой, что все члены последовательности с большими номерами $/forall n / /textgreater / N$ окажутся внутри окрестности $|x_n-a| / /textgreater / /epsilon$

Имеем предел:

$/displaystyle /lim_{n /to /infty} /frac{n+2}{n} =1$

Требуется доказать что он равен 1.
Доказательство:

Если $n/ /textgreater / N$ то $|/frac{n+2}{n} -1|/ /textless / /epsilon /Rightarrow | /frac{n-n+2}{n} |/ /textless / /epsilon /Rightarrow | /frac{2}{n} | / /textless / /epsilon$

Так как само $n$ натурально, то мы имеем право раскрыть данный модуль:
$/frac{2}{n} / /textless / /epsilon /Rightarrow n/ /textgreater / /frac{2}{/epsilon}$

Следовательно, отсюда имеем следующее:
Если $n / /textgreater / N$ то $n / /textgreater / /frac{2}{/epsilon}$

Так как в:
$n / /textgreater / /frac{2}{/epsilon}$ дробное число, нам следует брать только его целую часть:
$n/ /textgreater / [/frac{2}{/epsilon}]$

Имеем:
$N=[ /frac{2}{/epsilon}]$

Вывод:
Для любой сколько угодно малой окрестности $/epsilon$ точки $a=1$ , нашлось значение $N=[ /frac{2}{/epsilon}]$ , такое , что для любых больших номеров $n/ /textgreater / N$ выполняется неравенство $| /frac{n+2}{n} -1|/ /textless / /epsilon$

Таким образом, число a является пределом последовательности по определению. Ч.Т.Д.