1) исследовать функцию экстремум
2) найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
пожалуйста с решением

1.1. $y=(x-3)e^x // y=e^x+(x-3)e^x=(x-2)e^x$
$y=0 / /textless / =/ /textgreater / (x-2)e^x=0 / /textless / =/ /textgreater / x-2=0 / /textless / =/ /textgreater / x=2$
На промежутке (-∞,2) y принимает отрицательные значения, значит функция у убывает.
На промежутке (2, +∞) y принимает положительные значения, значит функция у возрастает.
Значит х=2 - это минимум функции у.

1.2. $y=x^{4}+ /frac{1}{2}x^2-3 // y=4x^3+x=x(4x^2+1)=0$
4x^2+1 всегда больше нуля при любых значениях х. Значит производная обращается в ноль только при х=0.
на промежутке х<0 y<0, то есть у убывает.
на промежутке х>0 y>0, то есть у возрастает.
Значит х+0 минимум функции у.

2.1. $y=x^2-6x+8 // y=2x-6=0 / /textless / =/ /textgreater / 2x=6 / /textless / =/ /textgreater / x=3$
На полуинтервале [1,3) y принимает отрицательные значения, функция у убывает. у(1)=3 - локальный максимум. у(3)=-1 - локальный минимум.
На полуинтевале (3,4] у положительна, значит у возрастает. у(4)=16-24+8=0 - локальный максимум
из двух локальных максимумов выбираем наибольший - это 3 - наибольшее значение функции у на отрезке [1,4]. -1 - наименьшее.

2.2. $y=3x^4+4x^3+1 // y=12x^3+12x^2=12x^2(x+1) // y=0 / /textless / =/ /textgreater / x=0, x=-1$
Рассмотрим промежуток [-2,-1]. На нем y отрицательна. Значит у убывает. у(-2)=3*16-4*8+1=17 - локальный максимум. у(-1)=0 - локальный минимум.
В интервале (-1,0) производная положительна. Значит у возрастает.
у(0)=1 -критическая непонятна точка (может быть локальным максимумом, но посмотрим дальше).
На промежутке (0,1] y опять положительна. То есть у продолжает возрастать. Значит х=0 - это точка перегиба. у(1)=8 локальный максимум.
Наибольшее значение функции на отрезке [-2,1] - это 17, а наименьшее - это 0.