Пусть для любых значений аргумента функция у = f(x) удовлетворяет условию f(x) 4- 10*f(3 - х) = 11. Найдите: f(1,5); f(3); f(x).

$f(x)+10f(3-x)=11$

$1) / / x=1,5/Rightarrow//// f(1,5)+10f(1,5)=11//// 11f(1,5)=11//// /boxed{f(1,5)=1}$

$/left/{/begin{matrix} x &= &0 &/Rightarrow// x &= &3&/Rightarrow /end{matrix}/right. /left/{/begin{matrix} f(0) + 10f(3) &= &11 // f(3)+ 10f(0) &= &11 /end{matrix}/right.////// /left/{/begin{matrix} f(0) = 11-10f(3) // f(3)+10[11-10f(3)] =11 /Longrightarrow /end{matrix}/right.////// f(3)+110-100f(3)=11// -99f(3)=11-110// -99f(3)=-99// /boxed{f(3)=1}/Longrightarrow//// f(0)=11-10f(3)=11-10=1// /boxed{f(0)=1}$

3) Надо подумать еще :) Делать вывод из 1 и 2, что $f(x)=1$ незаконно. Хотя, впрочем, вот, доказательство:

$/left/{/begin{matrix} f(x) &+ &10f(3-x) &= &11 // f(3-x) &+ &10f(3-(3-x)) &= &11 /end{matrix}/right./Longrightarrow////// /left/{/begin{matrix} f(x) &+ &10f(3-x) &= &11 // f(3-x) &+ &10f(x) &= &11 /end{matrix}/right.////// /left/{/begin{matrix} f(x)+10[11-10f(x)]=11// f(3-x)=11-10f(x) /end{matrix}/right./Longrightarrow////// f(x)+110-100f(x)=11// -99f(x)=-99// /boxed{f(x)=1}$
для $/forall / / x/in /mathbb R$