Исследовать функцию и построить ее график $y=- x^{3} + x$

$y=-x^3+x$

1.
$D(f)=/mathbb R$ - нет вертикальных асимптот

$f(-x)=-(-x)^3+(-x)=x^3-x=-(-x^3+x) /Longrightarrow //// f(-x)=-f(x)$
функция нечетная

2.
$k=/lim_{x/rightarrow/pm/infty}/frac{f(x)}{x}=/lim_{x/rightarrow/pm/infty}/frac{-x^3+x}{x}=////=/lim_{x/rightarrow/pm/infty}/frac{-x^3}{x}+/frac{x}{x}=/lim_{x/rightarrow/pm/infty}(-x^2+1)=-/infty$
наклонных асимптот нет

$k=/lim_{x/rightarrow/pm/infty}(-x^3+x)=/mp /infty$
идем влево - график уходит далеко вверх
идем вправо - график уходит далеко вниз

$E(f)=/mathbb R$
любое число

3.
$y=f(0)=0^3+0=0//// -x^3+x=0// -x(x^2-1)=0// x=0//// x^2-1=0// x^2=1// x=/pm1$

Точки пересечения с осью ОХ

4.
$f(x)=-x^3+x// f(x)=(-x^3+x)=-3x^2+1//// -3x^2+1=0// 3x^2=1// x^2=/pm /frac{1}{3}//// x_{1/2}=/pm /sqrt{ /frac{1}{3} }$

__-__ $- /sqrt{/frac{1}{3}}$ __+__ $/sqrt{ /frac{1}{3}}$ __-__

$(-/infty; - /sqrt{ /frac{1}{3}})/bigcup( /sqrt{ /frac{1}{3}};/infty)$ убывает

$(-/sqrt{ /frac{1}{3}};/sqrt{ /frac{1}{3}})$ возрастает

$f(-/sqrt{ /frac{1}{3}})=-(-/sqrt{ /frac{1}{3}})^3-/sqrt{ /frac{1}{3}}=- /frac{2}{3/sqrt3}= -/frac{2/sqrt3}{9} /approx-0,4//// f(/sqrt{ /frac{1}{3}})=-(/sqrt{ /frac{1}{3}})^3+/sqrt{ /frac{1}{3}}=/frac{2/sqrt3}{9} /approx0,4$

$f(-/sqrt{ /frac{1}{3}})$ - точка минимума

$f(/sqrt{ /frac{1}{3}})$ - точка максимума

5.
$f(x)=(-x^3+x)=-6x////-6x=0//x=0$

__+__0__-__

$(-/infty;0)$ вогнутая

$(0;+/infty)$ выпуклая

$f(0)=0$ - точка перегиба

7.
Дополнительные точки

x | 2 | -2 |
y |-6 | 6 |

График прилагается