Три числа, сумма которых равна 7, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Если бы большее из этих чисел было на 1 меньше, то числа бы составили арифметическую прог. Сколько членов геометрической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равно 255?

$1) a_1 + a_2 + a_3 = 7, a_1 = a_1, a_2 = a_1q, a_3 = a_1q^2, a_1 + a_1q + a_1q^2 = 7, a_1(1 + q + q^2) = 7 2) a_1 + a_2 + a_3 - 1 = 7 - 1, a_2 = a_1 + d, a_3 = a_1 + 2d frac{3(a_1 + a_3 - 1)}{2} = 6,^{(*)} a_1 + a_3 - 1 = 4, a_2 + a_1 + a_3 - 1 = 6, a_2 + 4 = 6, a_2 = 2 3) a_2 = a_1q = 2, a_1 = frac{2}{q}, q ne 0$

$frac{2}{q}(1 + q + q^2) = 7 | * q 2 + 2q + 2q^2 = 7q 2 - 5q + 2q^2 = 0 q_1 = frac{5 - sqrt{25 - 16}}{4} = frac{1}{2}, q_2 = frac{5 + sqrt{25 - 16}}{4} = 2 4_{a}) a_1 = 4, q = frac{1}{2}, a_1 + a_2 + ... + a_n = 255, a_1(1 + q + ... + q^{n-1}) = 255, S_{n} = 1 + q + ... + q^{n-1} = frac{(q^n - 1)}{q - 1}, limlimits_{n to +infty} S_{n} = frac{1}{q - 1}, |q| < 1 downarrow q ne frac{1}{2}$

$4_{b}) a_1 = 1, q = 2, a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1(1 + q + ... + q^{n-1}), 1 + 2 + ... + 2^{n-1} = 255, frac{2^{n} - 1}{2 - 1} = 255, 2^{n} = 256, 2^{n} = 2^{8} boxed{n = 8}$

(*) - формула для суммы арифметической прогрессии: $S_n = n*frac{a_1 + a_n}{2}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы