1) При каких значениях параметра уравнение $a/(a-3sin^22x)=3$ имеет решения?

2) При каких значениях параметра уравнение $sinx-cos2x=a^2+2$ имеет единственное решение на $[4pi;6pi]$

1)

$frac{a}{a-sin^22x}=3$

$a=3(a-sin^22x)$

$sin^22x=2a$

$sin2x=sqrt{2a}$

Так как значения синуса не могут быть большими единицы, получаем:

$-1<sqrt{2a}<1$

Так как выражение под радикалом и собственно весь радикал не могут быть отрицательными получаем:

$0<sqrt{2a}<1$

Откуда получаем:

$2a>0$

$a>0$

$2a<1$

$a<frac{1}{2}$

Объединяя полученные результаты получаем: a∈ $(0;frac{1}{2})$

Ответ: a∈ $(0;frac{1}{2})$

2)

$sinx-cos2x=a^2+2$

$sinx-(1-2sin^2x)=a^2+2$

$2sin^2x-sinx-1-a^2-2=0$

$sinx=t$

Получаем квадратное уравнение относительно t:

$2t^2-t-1-a^2-2=0$

$D=1+4*2*(1+a^2-2)=1+8(a^2-1)=8a^2-7$

$t=frac{1+sqrt{8a^2-7}}{2}$

$t=frac{1-sqrt{8a^2-7}}{2}$

Исходя из того что данное уравнение должно иметь лишь одно решение получаем, что дискриминант должен быть равен нулю:

$8a^2-7=0$

$a^2=frac{7}{8}$

$a=sqrt{frac{7}{8}}$

$a=-sqrt{frac{7}{8}}$

Но так как нам нужно только одно решение в заданном промежутке получаем:

$sinx=frac{1+sqrt{8a^2-7}}{2}$

$x=arcsin(frac{1+sqrt{8a^2-7}}{2})+2pi n$

$4pi<arcsin(frac{1+sqrt{8a^2-7}}{2})<6pi$

$1+sqrt{8a^2-7}>0$

неравенство не имеет решений

$sinx=frac{1-sqrt{8a^2-7}}{2}$

$x=arcsin(frac{1-sqrt{8a^2-7}}{2})+2pi n$

$4pi<arcsin(frac{1-sqrt{8a^2-7}}{2})<6pi$

$1-sqrt{8a^2-7}>0$

$8a^2-7<1$

$a^2<1$

$(a-1)(a+1)<0$

Получаем, что при a∈ $(-1;1)$ данное уравнение имеет лишь один корень

Ответ: a∈ $(-1;1)$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы

Предметы

Показать ещё