На прямій 5х-2у+9=0 знайти точку А, рівновіддалену від точок В(-2;-3) і С(4;1) і обчислити площу трикутника АВС

А я, вот, знаю, как доказать. )))
Т.к. уравнение прямой есть 5х-2у+9=0, то любая точка этой прямой, в том числе и точка А, имеет координаты (х; $frac{5}{2}x+frac{9}{2}$ ).
Т.к. А равноудалена от В и С, то АВ=АС, а следовательно, $AB^2=AC^2$
$AB^2=(-2-x)^2+(-3-frac{5}{2}x-frac{9}{2})^2=(x+2)^2+(frac{5}{2}x+frac{15}{2})^2 AC^2=(4-x)^2+(1-frac{5}{2}x-frac{9}{2})^2=(x-4)^2+(frac{5}{2}x+frac{7}{2})^2$
Приравняем правые части:
$(x-4)^2+(frac{5}{2}x+frac{7}{2})^2=(x+2)^2+(frac{5}{2}x+frac{15}{2})^2$
$x^2-8x+16+frac{25}{4}x^2+frac{35}{2}x+frac{49}{4}=x^2+4x+4+frac{25}{4}x^2+frac{75}{2}x+frac{225}{4}$
$-32x+64+70x+49=16x+16+150x+225 128x=-128 x=-1 y=frac{5}{2}*(-1)+frac{9}{2}=2$
Итак, точка А(-1; 2) лежит на прямой 5х-2у+9=0 и равноудалена от указанных точек В и С.
Для вычисления площади ∆АВС найдем длины сторон этого ∆:
$AB=sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=sqrt{26} AC=sqrt{5^2+(-1)^2}=sqrt{26} BC=sqrt{6^2+4^2}=sqrt{52}$
Для данных отрезков можно заметить,что $BC^2=AC^2+AB^2$
Поэтому по обратной теореме Пифагора ∆АВС - прямоугольный с гипотенузой ВС и ∠А=90°.
$S_{ABC}=frac{1}{2}AB*AC=frac{1}{2}*sqrt{26}*sqrt{26}=frac{1}{2}*26=13$