Найти частное решение
дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

$y + 4y = e ^ -4x$
$y(0) = 0$
$y(0) = 0$

Характеристическое уравнение однородного ДУ
$lambda^2+4lambda=0 lambdainlbrace0;-4rbrace$
откуда общее решение однородного ДУ
$y=c_1+c_2e^{-4x}$

Ищем частное решение неоднородного ДУ в виде
$y=alpha xe^{-4x}y=-4alpha xe^{-4x}+alpha e^{-4x} y=16alpha xe^{-4x}-8alpha e^{-4x}$

$y+4y=16alpha xe^{-4x}-8alpha e^{-4x}-16alpha xe^{-4x}+4alpha e^{-4x}=-4alpha e^{-4x}$
$-4alpha e^{-4x}=e^{-4x} alpha=-frac14$
Частное решение неоднородного уравнения
$y=-frac14x e^{-4x}$

Общее решение неоднородного ДУ = общее решение однородного + частное решение неоднородного
$y=c_1+c_2e^{-4x}-frac14xe^{-4x} y(0)=c_1+c_2=0 y(0)=-4c_2-frac14=0 c_2=-frac1{16};quad c_1=frac1{16} boxed{y=frac1{16}-frac1{16}e^{-4x}-frac14xe^{-4x}}$