Найти решение дифференциальногo уравнения при известных начальных условиях (задача Коши).
y-100y=0
y(0)=0
y(0)=15

Составим и решим характеристическое уравнение:
${lambda}^2-100=0$
$(lambda+10)(lambda-10)=0$
$lambda_1=-10$ $lambda_2=10$
Общее решение:
$y=C_1e^{-10x}+C_2e^{10x}$ где $C_1,C_2$ - константы.
Используем начальное условие y(0)=0 :
$y(0)=C_1e^0 +C_2e^0=C_1+C_2$
Согласно начальному условию, получаем первое уравнение :
$y(0)=C_1+C_2=0 =>C_1+C_2=0$
Берем общее решение, и находим производную:
$y=(C_1e^{-10x}+C_2e^{10x})=-10C_1e^{-10x}+10C_2e^{10x}$
Используем второе начальное условие y(0)=15 :
$y(0)=-10C_1+10C_2$
Согласно второму начальному условию, находим второе уравнение:
$y(0)=-10C_1+10C_2=>-10C_1+10C_2=15$
Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
$left { {{C_1+C_2=0} atop {-10C_1+10C_2=15}} right.$

$left { {{-10C_1+10C_2=15} atop {C_1+C_2=0}} right.$

$left { {{-10C_1+10C_2=15} atop {2C_2=frac{3}{2}}} right.$

$left { {{-2C_1+2C_1=3} atop {2C_2=frac{3}{2}}} right.$

$left { {{-2C_1=frac{3}{2}} atop {C_2=frac{3}{4}}} right.$

$left { {{C_1=-frac{3}{4}} atop {C_2=frac{3}{4}}} right.$
Подставим найденные значения в общее решение:

$y=-frac{3}{4}e^{-10x}+frac{3}{4}e^{10x}$
Ответ: частное решение :
$y=-frac{3}{4}e^{-10x}+frac{3}{4}e^{10x}$