Найти предел F=(1-cos(7x)^2)/(x^2) при х->0

Сделаем замену сначала: 7x=t, т.е $x=frac{t}{7}$

Поскольку x->0, то и 7x->0, значит и t->0.

Подставляем в наш предел то что получилось с учетом замены:

$lim_{t to 0} frac{1-cos(t^2)}{frac{t^2}{7^2}}= =lim_{t to 0} frac{49(1-cos(t^2))}{t^2}$

Поскольку нас неопределенность 0/0 можно использовать правило Лопиталя.

Получаем:

$lim_{t to 0} frac{49(2tcdot sin(t^2))}{2t}= =lim_{t to 0} 49(sin(t^2))=0$

Возможно я не так понял задание и там имелось в виду:

$lim_{x to 0} frac{1-cos^2(7x)}{x^2}$

Тогда используем ту же самую замену.:

$lim_{t to 0} frac{49(1-cos^2(t))}{t^2}= = lim_{t to 0} frac{49(sin^2(t))}{t^2}= =lim_{t to 0} 49cdot frac{(sin(t))}{t}cdot frac{(sin(t))}{t}$

Видим что здесь произведение двух "первых замечательных пределов", а именно:

$lim_{t to 0} frac{sin(t)}{t}=1$

Используем этот факт и получим: $lim_{t to 0} 49cdot frac{(sin(t))}{t}cdot frac{(sin(t))}{t}=49$

Как-то так. Но обязательно проверь.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы