Всё та же злополучная алгебра, в которой я совершенно не разбираюсь. По правилам сервиса я обязан разделить на несколько вопросов, извиняюсь за небольшой спам.

1) Разложение определителя по 1-му столбцу:
$D=a_{11}*A_{11}+a_{21}*A_{21}+a_{31}*A_{31}+a_{41}*A_{41}+a_{51}*A_{51}=1*(-1)^{4+1}*A_{41}=-A_{41}=-99$
2) Разложим получившийся определитель по первой строке: $A_{41}= left|begin{array}{cccc}3&8&4&03&10&2&33&9&4&16&5&3&8end{array}right|=$ $=3*left|begin{array}{ccc}10&2&39&4&15&3&8end{array}right|-8*left|begin{array}{ccc}3&2&33&4&16&3&8end{array}right|+4*left|begin{array}{ccc}3&10&33&9&16&5&8end{array}right|=3*177-8*6-4*96=99$
Т.к.:
$left|begin{array}{ccc}10&2&39&4&15&3&8end{array}right|=10*4*8+9*3*3+2*1*5-3*4*5-1*3*10-2*9*8=320+81+10-60-30-144=177$

$left|begin{array}{ccc}3&2&33&4&16&3&8end{array}right|=3*4*8+3*3*3+2*1*6-3*4*6-1*3*3-2*3*8=96+12+27-72-48-9=6$

$left|begin{array}{ccc}3&10&33&9&16&5&8end{array}right|=3*9*8+3*5*3+10*6*1-3*9*6-1*5*3-3*10*8=216+45+60-162-240-15=-96$

2) a) Составляем характеристическую матрицу $A-LE$
$A-LE=left(begin{array}{cc}0&88&0end{array}right)- alpha*left(begin{array}{cc}1&00&1end{array}right)=left(begin{array}{cc}1-L&88&1-Lend{array}right)$
b) Находим характеристический многочлен $|A-LE|$
$left|begin{array}{cc}1-L&88&1-Lend{array}right|=(1-L)^{2}-64=(1-L-8)(1-L+8)=-(7+L)(9-L)$
c) Решим характеристическое уравнение:
$-(7+L)(9-L)=0$
$L=-7$
$L=9$
Это собственные числа матрицы. Найдем соответствующие им собственные векторы.
d) При L=-7:
$left(begin{array}{cc}8&88&8end{array}right)*left(begin{array}{c} alpha_{1}alpha_{2}end{array}right)$
$8 alpha_{1}-8alpha_{2}=0$
$alpha_{1}=alpha_{2}$

При L=9:
$left(begin{array}{cc}-8&88&-8end{array}right)*left(begin{array}{c} alpha_{1}alpha_{2}end{array}right)$
$-8 alpha_{1}-8alpha_{2}=0$
$alpha_{1}=-alpha_{2}$

Вектор (8; -8) - является собственным (при собственном числе L=9)

L = лямда