Деревянный и алюминиевый цилиндры одинакового сечения соединены в торец. Длина деревянного цилиндра 20 см. Какую длину должен иметь алюминиевый цилиндр, чтобы при плавании в воде цилиндры устанавливались вертикально, причем верхнее основание деревянного цилиндра находилось бы на 2,9 см выше уровня воды? (рд = 800 кг/м3.)

Дано
L₁=20 см =0,2 м длина деревянного цилиндра;
L₂=2,9 см=0,029 см длина выступающей над водой части деревянного цилиндра;
ρ₁=800 кг/м³ плотность дерева
ρ₂=2700 кг/м³ плотность алюминия
ρ=1000 кг/м³ плотность воды
Сообразим рисунок (рисунок 1).
Итак чтобы составной цилиндр при плавал, необходимо, чтобы сила тяжести Mg уравновешивалась силой Архимеда $F_A$ . Обозначим площадь поперечного сечения S. Тогда в положении требуемого равновесия сила Архимеда.
$F_A=rho gV_3=rho gS(L_1-L_2+x)$ (1)
где V₃ - Объем погруженной части составного цилиндра.
Сила тяжести
$F_t=Mg=(rho_1V_1+rho_2V_2)g=(rho_1SL_1+rho_2Sx))g=(rho_1L_1+rho_2x))Sg$ (2)
Приравниваем правые части (1) и (2) и разрешаем полученное уравнение относительно x.
$rho gS(L_1-L_2+x)=gS(rho_1L_1+rho_2x) newline newline rho (L_1-L_2+x)=rho_1L_1+rho_2x newline newline rho( L_1-L_2)+rho x=rho_1L_1+rho_2x newline newline rho_2x-rho x =rho( L_1-L_2)-rho_1L_1 newline newline x(rho_2-rho) =rho( L_1-L_2)-rho_1L_1$
$x =(rho( L_1-L_2)-rho_1L_1)/(rho_2-rho)$ (3)
Подставляем числа в (3)
$x =(rho( L_1-L_2)-rho_1L_1)/(rho_2-rho)=newline = (1000(0,2-0,029)-800 cdot 0,2)/(2700-1000)= newline =(1000cdot 0,171-160)/1700=(171-160)/1700=11/1700approx0,00647$ м.
Т.е. приблизительно 6,5 мм

P.S.Еще один момент. Для устойчивого вертикального плавания должно выполняться условие: центр плавучести (центр масс вытесненного объема воды должен быть выше, чем центр масс составного цилиндра) .
Проверяем. У нас центр плавучести находится на уровне
(L₁-L₂+x)/2=(0,171+0,0647)/2≈0,0887м от уровня воды. И на таком же расстоянии от нижнего торца
h≈0,0887м=8,87 см.
Положение центра масс составного цилиндра по быстрому определим так:
Рассмотрим составной цилиндр в горизонтальном положении (рисунок 2)."Стянем" в точки своих центров масс z₁, z₂ деревянную и алюминиевую части, а затем найдем точку z₀ относительно которой моменты сил F1=m₁g и F2=m₂g , будут равны.
Положение центра масс Z₁=x+L₁/2, соответственно Z₂=x/2
Тогда моменты относительно точки Z₀
$M_1=m_1g(z_1-z_0)=rho_1SL_1g(z_1-z_0) =rho_1SL_1g(x+L_1/2-z_0) newline M_2=m_2g(z_0-z_2)=rho_2Sxg(z_0-z_2)=rho_2Sxg(z_0-x/2) newline newline M_1=M_2 newline rho_1SL_1g(x+L_1/2-z_0) =rho_2Sxg(z_0-x/2) newline rho_1L_1(x+L_1/2-z_0) =rho_2x(z_0-x/2) newline rho_1L_1(x+L_1/2)-rho_1L_1z_0 =rho_2xz_0-rho_2x^2/2 newline newline rho_1L_1(x+L_1/2)+rho_2x^2/2=rho_2xz_0+rho_1L_1z_0=z_0(rho_2x+rho_1L_1) newline$

$z_0= frac{rho_1L_1(x+L_1/2)+rho_2x^2/2}{(rho_2x+rho_1L_1)}$
$z_0= frac{rho_1L_1(x+L_1/2)+rho_2x^2/2}{(rho_2x+rho_1L_1)}= frac{800cdot 0,2(0,00647+0,1)+2700(11/1700)^2/2}{(2700cdot11/1700+800cdot0,2)}=newline = frac{160(0,10647)+1350(121/1700 cdot 1700)}{(27cdot11/17+160)}approx0,0963$
z₀≈0,0963м=9,63 см
от нижнего торца. Таким образом центр масс составного цилиндра оказался выше чем центр плавучести (z₀>h), а значит вертикальное положение будет неустойчивым. И, пожалуй, при заданной высоте выступающей части строго вертикального плавания не получится