Вес тела в воде в 2 раза меньше, чем в масле, и в 3 раза меньше, чем в воздухе. Определить плотность масла. Плотностью воздуха пренебречь.

Итак в жидкости или в газе(т.е. в воздухе вообще говоря тоже. И не всегда можно пренебречь силой Архимеда (например при расчете полета аэростата)) вес тела равен сила тяжести минус сила Архимеда:
$P=mg-F_A=mg-rho gV$ (1)
Где
ρ -плотность жидкости (газа) в которую погружено тело
m - масса тела
g - ускорение свободного падения
V - объем тела
Итак в воздухе:
$P=mg$ (2)
В воде:
$P_1=mg-rho_1gV$ (3)
В масле:
$P_2=mg-rho_2gV$ (4)
По условию
$frac{P_2}{P_1}=2$ (5)
$frac{P}{P_2}=3$ (6)

Тогда с учетом (2) (3) из (6) получаем
$frac{P_1}{P}= frac{1}{3} newline newline frac{mg-rho_1gV}{mg}= frac{1}{3} newline newline 1-frac{rho_1V}{m}= frac{1}{3}$
Обозначим сразу величину x
$x= frac{V}{m}$
И получаем первое уравнение нашей будущей системы
$frac{2}{3} -rho_1x= 0$ (7)

Далее из (5) с учетом (4) (3) следует:
$frac{mg-rho_2gV}{mg-rho_1gV}=2 newline newline frac{mg(1-rho_2V/m)}{mg(1-rho_1V/m)}=2 newline newline frac{(1-rho_2V/m)}{(1-rho_1V/m)}=2 newline newline frac{(1-rho_2x)}{(1-rho_1x)}=2 newline newline$
Получили 2е уравнение нашей системы
$frac{(1-rho_2x)}{(1-rho_1x)}=2$ (8)
Т.е. теперь у нас есть ситема 2х уравнений (7), (8) с двумя неизвестными x и ρ₂
$frac{2}{3} -rho_1x= 0$
$frac{(1-rho_2x)}{(1-rho_1x)}=2$ (9)

(Плотность воды ρ₁=1000 кг/м³ нам известна) Ну и нас больше интересует переменная ρ₂
Из первого уравнения системы (9) выразим x и подставим его во второе уравнение, выразив в нем ρ₂.
$x= frac{2}{3rho_1}= frac{2}{3000} = frac{1}{1500}$
$frac{(1-rho_2x)}{(1-rho_1x)}=2 newline newline 1-rho_2x=2(1-rho_1x)newline rho_2x=1-2(1-rho_1x)newline rho_2x=1-2+2rho_1xnewline newline rho_2=(2rho_1x-1)/x$
$rho_2=(2rho_1x-1)/x=2rho_1-1/x=2cdot 1000-1/(1/1500)=newline 2000-1500=500$

ОТВЕТ: плотность масла ρ₂=500 кг/м³.