Задача по физике. Упругое нецентральное соударение шаров.
Бильярдный шар массой m лежит неподвижно на столе. Об этот шар ударяется другой шар массой M, со скоростью параллельной к краю стола. Какое должно быть расстояние между краем ударного шара и центром шара неподвижного, чтобы тот движущийся шар полетел под углом 60 градусов к краю стола? Всегда ли такое возможно?

Либо я что-то не так понимаю, либо задачка совсем непростая.
Пусть $d$ - прицельный параметр (его мы и будем искать потом).
Легко видеть, что направление скорости мишени после удара не зависит от скорости налетающего шара и составляет угол $alpha$ с горизонтом такой, что его синус $sin alpha=dfrac{d}{2R}$ , где $R$ - радиус каждого из шаров.
Пишем теперь законы сохранения:
энергии:
$mathrm{(1) }V_0^2=mu v^2+V^2;$
импульса:
$mathrm{(2) } V_0=mu vcosalpha+dfrac{V}{2}; mathrm{(3) } Vdfrac{sqrt3}{2}=mu vsinalpha.$
(Здесь принято обозначение $muequivdfrac mM$ .)
Теперь делаем такой трюк: выразим из уравнений $(2)$ и $(3)$ члены, содержащие выражения с фактором $mu v$ , возведем их в квадрат и сложим. Тогда около этого фактора после сложения окажется тригонометрическая единица. Так мы избавляемся от функции угла.
$mu^2v^2=V_0^2-V_0V+V^2$
Отсюда возьмем $mu v^2$ и подставим эту конструкцию в $(1)$ .
$mu V_0^2=V_0^2-V_0V+V^2+mu V^2$ .
Это квадратное уравнение относительно $dfrac{V_0}{V}$ :
$left(dfrac{V_0}{V}right)^2-dfrac{1}{1-mu} left(dfrac{V_0}{V}right)+dfrac{1+mu}{1-mu}=0$ .
Его решение имеет вид:
$boxed{dfrac{V_0}{V}=dfrac{1pmsqrt{4mu^2-3}}{1-mu}} mathrm{(*)}$ .
Теперь вспоминаем про функцию угла, содержащуюся в уравнениях $(2)$ и $(3)$ . Опять выражаем из них выражения с фактором $mu v$ , но в этот раз мы разделим одно на второе (косинус на синус, например). Получим:
$V_0=Vdfrac{sqrt3}{2}cotalpha+dfrac V2.$
Другими словами,
$boxed{dfrac{V_0}{V}=dfrac{sqrt3 cotalpha+1}{2}} mathrm{(**)}$ .
Сравнивая $mathrm{(*)}$ и $mathrm{(**)}$ , находим одно тривиальное решение, отвечающее отсутствию удара вообще и одно нетривиальное, отвечающее равенству правых частей. Это равенство представляет из себя некое уравнение на угол. Теперь мы вспомним про самое первое уравнение, написанное в решении. Из него легко получить $cotalpha=sqrt{left(dfrac{2R}{d}right)^2-1}.$
Принимая это во внимание и разрешая получившееся из $mathrm{(*)}$ и $mathrm{(**)}$ уравнение относительно прицельного параметра, получим окончательный ответ:
$d=2Rleft{dfrac13left[1+left(-1+2dfrac{1pmsqrt{4mu^2-3}}{1-mu}right)right]^2right}^{-1/2}.$

Отсюда, кстати, видно условие на отношение масс: оно должно быть таким, чтобы корень был неотрицательным, т.е., необходимое условие для того, чтобы описанное в условии движение могло иметь место в принципе, выглядит следующим образом: $mu geq dfrac{sqrt3}{2}$ .