Геометрия. Движения. 2 задачи.

Рассмотрим общий случай, когда поворот осуществляется на угол 0°<α<90°
Так как поворот - это движение, сохраняющее расстояние, то расстояние от начала координат до движущейся точки будет постоянное - значит точка движется по окружности радиуса R. Из точки А опустим перпендикуляры ОХ - на ось х и ОY - на ось у. Рассмотри треугольник ОАХ:
$cos alpha = frac{OX}{OA} = frac{x}{R} Rightarrow x=Rcos alpha sin alpha = frac{AX}{OA} = frac{OY}{OA} = frac{y}{R} Rightarrow y=Rsin alpha$
В нашем случае изначально точка имела координаты (1; 0), значит:
$R= sqrt{1^2+0^2} =1$
Тогда формулы для координаты точки после ее поворота на угол α примут вид:
$x=cos alpha y=sin alpha$
Если α=30°, то:
$x=cos30= frac{ sqrt{3} }{2} y=sin30= frac{1}{2}$
Если α=45°, то:
$x=cos45= frac{ sqrt{2} }{2} y=sin45= frac{sqrt{2} }{2}$
Если α=60°, то:
$x=cos60= frac{1 }{2} y=sin60= frac{sqrt{3} }{2}$

Из соображений симметрии видно что угол β (90°<α<180°) по сравнению с углом (180-α) имеет равные ординаты, но противоположные абсциссы.
Если угол поворота 90°<α<180°, то используем формулы приведения:
$sin(180- alpha )=sin alpha cos(180- alpha )=-cos alpha$
Если α=120°, то:
$x=cos120=cos(180-60)=-cos60=- frac{ 1 }{2} y=sin120=sin(180-60)=sin60= frac{sqrt{3} }{2}$
Если α=150°, то:
$x=cos150=cos(180-30)=-cos30=- frac{ sqrt{3} }{2} y=sin150=sin(180-30)=sin30= frac{1 }{2}$

Также, из соображений симметрии видно что угол α (0°<α<180°) по сравнению с углом (-α) имеет равные абсциссы, но противоположные ординаты.
Если угол поворота 0°<α<180°, то используем формулы:
$sin(- alpha )=-sin alpha cos(- alpha )=cos alpha$
Если α=-30°, то:
$x=cos(-30)=cos30= frac{ sqrt{3} }{2} y=sin(-30)=-sin30= -frac{1}{2}$
Если α=-45°, то:
$x=cos(-45)=cos45= frac{ sqrt{2} }{2} y=sin(-45)=-sin45=- frac{sqrt{2} }{2}$
Если α=-60°, то:
$x=cos(-60)=cos60= frac{1 }{2} y=sin(-60)=-sin60=- frac{sqrt{3} }{2}$
Если α=-120°, то:
$x=cos(-120)=cos120=- frac{ 1 }{2} y=sin(-120)=-sin120=- frac{sqrt{3} }{2}$
Если α=-150°, то:
$x=cos(-150)=cos150=- frac{ sqrt{3} }{2} y=sin(-150)=-sin150=- frac{1 }{2}$