Найдите площадь ромба АВСD, если известно, что диагональ АС
равна 4, а радиус вписанной в него окружности равен 4/корень из 5

Пусть О- центр окружности, ОЕ- r; r перпендикулярен к касательной окружности. Тогда △BOC~△OEC, т.к ∠OEC=∠BOC=90 и ∠BCO- общий(по 2 углам).
По теореме Пифагора:
$EC= sqrt{ 4-frac{16}{5} }= sqrt{ frac{20-16}{5}}= frac{2}{ sqrt{5} }$
=> $frac{OC}{BO}= frac{EC}{OE}$
$frac{2}{BO}= frac{2}{ sqrt{5} }: frac{4}{ sqrt{5} } = frac{2}{ sqrt{5} } frac{ sqrt{5} }{4}$
=0,5; BO=2: 0,5=4 =>BD=8
А т.к AC=4, то $S_{romb}= frac{ d_{1} d_{2} }{2} = frac{8*4}{2} =16cm^{2}$