В треугольник,углы которого относятся как 1:2:6,вписана окружность.Найдите углы между радиусами,проведёнными в точки касания
найдите радиус окружности, вписанной в равнбедренный треугольник с основанием 12 см и периметров 32 см
в равнобедренной трапеции MNPK диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус окружности, писанной около трапеции, если диагональ ранва 12 см а боковая сторона 9 см

$1)$

Пусть дан Δ $ABC$ , в который вписана окружность $w (O;R)$

$textless A=2x$

$textless B=x$

$textless C=6x$

Сумма всех углов треугольника равна 180°, т. е.

$textless A+ textless B+ textless C=180^circ$

$2x+x+6x=180$

$9x=180$

$x=20^circ$ - $textless B$

$2*20=40^circ$ - $textless A$

$6*20=120^circ$ - $textless C$

$OK$ ⊥ $AB$

$OL$ ⊥ $CB$

$OM$ ⊥ $AC$

из четырехугольника $AMOK$

$textless KAM+ textless AMO+ textless MOK+ textless OKA=360^circ$

$40^circ +90^circ + textless MOK+90^circ =360^circ$

$textless MOK+220^circ =360^circ$

$textless MOK =140^circ$

Из четырехугольника $MCLO$

$textless OMC+ textless MCL+ textless CLO+ textless LOM=360^circ$

$90^circ +120^circ +90^circ+ textless LOM =360^circ$

$textless LOM+300^circ =360^circ$

$textless LOM=60^circ$

из четырехугольника $LOKB$

$textless OLB+ textless LBK+ textless BKO+ textless KOB=360^circ$

$90^circ +20^circ +90^circ+ textless KOL =360^circ$

$200^circ+ textless KOL =360^circ$

$textless KOL =160^circ$

Ответ: $60^circ ;$ $140^circ ;$ $160^circ$

$2)$
Δ $ABC-$ равнобедренный, значит $AB=BC$

$AC=12$ см

$P_{ABC}=32$ см

$P_{ABC} =AB+BC+AC$ , так как $AB=BC$ , то

$P_{ABC}=2AB+AC$

$2AB+12=32$

$2AB=20$

$AB=10$ (см)

$r= frac{S}{p}$ , где $p= frac{a+b+c}{2}$ или $p= frac{P}{2}$

$p= frac{32}{2} =16$

$S_{ABC}= frac{1}{2}*AC*BM$

$BM$ ⊥ $AC$ и $AM=MC=6$

Δ $BMA$ - прямоугольный

по теореме Пифагора найдем

$BM= sqrt{AB^2-AM^2}= sqrt{10^2-6^2}= sqrt{64}=8$ (см)

$S_{ABC= frac{1}{2} } *12*8=48$ (см²)

$r= frac{48}{16}=3$ (см)

Ответ: $3$ см

$3)$
$MNPK-$ равнобедренная трапеция, около которой описана окружность $w(O;R)$

$MP=12$ см

$PK=9$ см

$MP$ ⊥ $PK$ ( по условию)

значит Δ $MPK -$ прямоугольный

по теореме Пифагора найдём

$MK= sqrt{MP^2+PK^2}= sqrt{12^2+9^2}= sqrt{144+81}= sqrt{225}=15$ см

$textless MPK -$ вписанный угол и $textless MPK=90^circ$ , значит опирается на диаметр окружности

$MK=D$

$D=2R$

$2R=15$

$R=7.5$

Ответ: $7.5$ см