В треугольнике ABC известны углы ABC=60 и ACB=90, а точка D разбивает гипотенузу на части AD=1 и DB=3. Длина отрезка CD равна

$ABC$ - прямоугольный
$textless ACB=90^circ$
$textless ABC=60^circ$ , тогда
$textless BAC=30^circ$
$AB=AD+BD$
$AB=1+3=4$
$CB= frac{1}{2} AB=2$ ( как катет, лежащий на против угла в 30 градусов)
по теореме Пифагора найдем:
$AC= sqrt{AB^2-CB^2} = sqrt{4^2-2^2} = sqrt{12} =2 sqrt{3}$
рассмотрим треугольник $ACD$ :
по теореме косинусов
$CD^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cos textless CAD$

$CD^2=(2 sqrt{3} )^2+1-2*2 sqrt{3} *1* frac{ sqrt{3} }{2}$
$CD^2=7$
$CD= sqrt{7}$
Ответ: $sqrt{7}$