Две окружности радиусов 3 и 12 внешне касаются в точке К.
Обе окружности касаются одной прямой: большая – в точке А, меньшая
– в точке В. Прямая АК пересекает меньшую окружность в точке С,
прямая ВК пересекает большую окружность в точке D. Найти площадь
четырехугольника АВСD.

Впишем наши окружности , в ось $OXY$ , так , что точка $A(0;0)$ , точка $B$ очевидно будет иметь координаты , равными $x= sqrt{(3+12)^2-(12-3)^2} = 12 , то есть$ $B(12;0)$
Опишем уравнения окружности , и решим систему
$left { {{ (x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } atop { x^2+(y-12)^2=12^2}} right.$
Решениями системы, $x= frac{48}{5} ; y = frac{24}{5}$ то есть координаты $K( frac{48}{5}; frac{24}{5} )$ .
Найдем координаты , точек $C;D$
Уравнения прямой $AС 3x+4y=48$
уравнения прямой другой $2x+y=24$
Решая их с полученными , уравнениями окружности
$(x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } atop { 3x+4y=48 }$
$C(frac{72}{5}: frac{6}{5})$
$x^2+(y-12)^2=12^2 2x+y=24$
$D(0;24)$
То есть $AD$ диаметр окружности
$BC = frac{6sqrt{5}}{5}$
$CD = frac{6sqrt{505}}{5}$
$BD = sqrt{12^2+24^2 } = 12sqrt{5}$
Откуда $S_{BCD} = 36$

Значит $S_{ABCD} = 36+S_{ABD} = frac{24*12}{2}+36 = 180$