Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А ( 1; -4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).

Уравнение окружности имеет вид:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , где (a; b) - центр окружности, r - ее радиус

а)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$begin{cases} (1-a)^2+(-4-b)^2=r^2 (4-a)^2+(5-b)^2=r^2 (3-a)^2+(-2-b)^2=r^2 right end{cases}$
Правые части равны, значит равны и левые части. Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(1-a)^2+(-4-b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 (1-a)^2+(4+b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 1-2a+a^2+16+8b+b^2=16-8a+a^2+25-10b+b^2 1-2a+8b=-8a+25-10b 6a+18b-24=0 a+3b-4=0 Rightarrow a=4-3b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(-2-b)^2 (4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(2+b)^2 16-8a+a^2+25-10b+b^2=9-6a+a^2+4+4b+b^2 16-8a+25-10b=9-6a+4+4b 2a+14b-28=0 a+7b-14=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$4-3b+7b-14=0 4b=10 Rightarrow b=2.5 Rightarrow a=4-3cdot2.5=-3.5 Rightarrow r^2=(4-(-3.5))^2+(5-2.5)^2=56.25+6.25=62.5$
Искомое уравнение окружности: $(x+3.5)^2+(y-2.5)^2=62.5$

б)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$begin{cases} (3-a)^2+(-7-b)^2=r^2 (8-a)^2+(-2-b)^2=r^2 (6-a)^2+(2-b)^2=r^2 right end{cases}$
Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(3-a)^2+(-7-b)^2= (8-a)^2+(-2-b)^2 (3-a)^2+(7+b)^2= (8-a)^2+(2+b)^2 9-6a+a^2+49+14b+b^2=64-16a+a^2+4+4b+b^2 9-6a+49+14b=64-16a+4+4b 10a+10b-10=0 a+b-1=0 Rightarrow a=1-b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(8-a)^2+(-2-b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 (8-a)^2+(2+b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 64-16a+a^2+4+4b+b^2=36-12a+a^2+4-4b+b^2 64-16a+4b=36-12a-4b 4a-8b-28=0 a-2b-7=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$1-b-2b-7=0 3b=-6 Rightarrow b=-2 Rightarrow a=1-(-2)=3 Rightarrow r^2=(6-3)^2+(2-(-2))^2=9+16=25$
Искомое уравнение окружности: $(x-3)^2+(y+2)^2=25$