Даны вершины треугольника A (2;-1;0), B (-2;1;1), C (2;2;-1). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В

Находим стороны треугольника:
$AB= sqrt{(-2-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}= sqrt{21}$
$AC= sqrt{(2-2)^2+(2+1)^2+(-1-0)^2}= sqrt{10}$
$BC= sqrt{(-2-2)^2+(1-2)^2+(1+1)^2}= sqrt{21}$
Тогда по формуле Герона площадь треугольника будет равна
$S= sqrt{left(sqrt{21}+ frac{ sqrt{10}}{2}right)left(frac{ sqrt{10}}{2}right)^2left(sqrt{21}- frac{ sqrt{10}}{2}right) }= frac{ sqrt{10}}{2}frac{ sqrt{21-frac{10}{4}}}{2}=$
$=frac{ sqrt{10}}{2}frac{ sqrt{74}}{2}=frac{ sqrt{185}}{2}$
Высота, проведенная с вершины В равна:
$h_B= frac{2S}{AC} = frac{ sqrt{185}}{ sqrt{10} } = frac{sqrt{74}}{2}$

По теореме косинусов:
$AC^2=AB^2+BC^2-2ABcdotBCcdotcos B$
а поскольку AB=BC, то
$AC^2=2AB^2(1-cos B)$ и $cos B = 1-frac{AC^2}{2AB^2}=$
$=1-frac{10}{42}=frac{32}{42}=frac{16}{21}$