Дано:
ΔABC, AB=BC, BD⊥AC, OD/OB=3/5, AB=10.
Найти:
r ( радиус вписанной окружности)
Решение:

Так как известно отношение OD/OB=3/5, то можно обозначить OD=3x (OD=r - значит, 3х - искомый радиус), OB=5x, следовательно BD=8х. Также обозначим АС=а.

Площадь треугольника равна половине произведение его периметра на радиус вписанной окружности:
$S= /frac{1}{2} Pr/Rightarrow r= /frac{2S}{P}$

С другой стороны площадь можно найти как половина произведения основания на высоту:
$S= /frac{1}{2} /cdot AC/cdot BD$
Тогда выражение для радиуса вписанной окружности примет вид:
$r= /frac{AC/cdot BD}{P}$

Подставим в последнее выражения все ранее введенные обозначения и известные числовые данные:
$r=/frac{a/cdot 8x}{a+10+10}$
Зная, что r=3x, получим:
$3x=/frac{8ax}{a+20} /// 3=/frac{8a}{a+20} /// 8a=3a+60 /// 5a=60 /// a=12 /// AC=12$

Рассмотрим треугольник АВD: AD есть половина АС, так как BD - высота (следовательно и медиана) равнобедренного треугольника. По теореме Пифагора получим:
$AB^2=( /frac{AC}{2} )^2+BD^2 /// 10^2=6^2+(8x)^2 /// 100=36+64x^2 // 64=64x^2 /// x^2=1 /// x=1, / x /neq -1$

Теперь можно найти радиус вписанной окружности:
$r=3x=3/cdot1=3$

Ответ: 3