1)В треугольник HPT вписана окружность с центром A и радиусом, равным 7м. Найдите длину отрезка AH, если угол PHT равен 90 градусов.
2)В окружности с центром О вписан равнобедренный треугольник с основание аб=12 м, высота ch=2 м. Найдите радиус окружности, если угол С-тупой

1. В прямоугольный треугольник вписана окружность (см. рис 1). Проведем радиусы AN и AM к катетам HP и HT соответственно. Как видно из рисунка, образовался квадрат HNAM, для которого отрезок AH является диагональю.
Диагональ квадрата найдем по формуле:
$d=a /sqrt{2}$ , где d = AH - диагональ квадрата, a - сторона квадрата, которая нам известна (7м).
$AH=d=7 /sqrt{2}$
Ответ: $7 /sqrt{2}$ .
2. В окружность вписан равнобедренный треугольник с тупым углом (см рис. 2). Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой:
$R= /frac{abc}{4S}$ , где a, b и c - стороны треугольника, а S - площадь треугольника.
Найдем площадь треугольника:
$S= /frac{1}{2}*CH*AB= /frac{1}{2}*12*3=18$ ;
Найдем сторону треугольника AC из ΔHCA (∠H = 90°):
$AC= /sqrt{ CH^{2}+ AH^{2} } = /sqrt{4+36} = /sqrt{40}=2 /sqrt{10}$
AC = BC, т. к. треугольник равнобедренный.
Найдем радиус окружности:
$R= /frac{AC*BC*AB}{4S} = /frac{2 /sqrt{10}*2 /sqrt{10} *12 }{4*18}= /frac{20}{3}$
Ответ: $/frac{20}{3}$ м.