Даны точки А(1;5), В(-2;2), С(0;0) и Д(3;3). Докажите, что:
а) АВСД- параллелограмм;
б) АВСД- прямоугольник.

1) Составляем уравнения всех сторон четырёхугольника по общему виду уравнеия

прямой, проходящей через две точки:

$frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

AB: $frac{x-1}{-2-1}=frac{y-5}{2-5} frac{x}{-3}=frac{y-5}{-3} y=x+4$

CD: $frac{x-0}{3-0}=frac{y-0}{3-0} frac{x}{3}=frac{y}{3} y=x$

BC: $frac{x+2}{0+2}=frac{y-2}{0-2} frac{x+2}{2}=frac{y-2}{-2} y=-x$

AD: $frac{x-1}{3-1}=frac{y-5}{3-5} frac{x-1}{2}=frac{y-5}{-2} x-1=5-y y=-x+6$

Условием параллельности двух прямых вида:

$y=a_1x+b_1y=a_2x+b_2$

является равенство: $a_1=a_2$

Проверяем на параллельность прямые AB и CD:

$AB y=x+4CD y=x a_1=a_2=1$ ,

значит AB||CD

Проверяем на параллельность прямые BC и AD:

$BC y=-xAD y=-x+6 a_1=a_2=-1$

значит BC||AD

Стороны четырёхугольника параллельны, значит он является параллелограммом.

2) Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, достаточно доказать, что CD

перпендикулярна ВС.

Условием перпендикулярности двух прямых вида:

$y=a_1x+b_1y=a_2x+b_2$

является равенство: $a_1cdot a_2=-1$

$CD y=xBC y=-x a_1cdot a_2=-1$

Значит CD перпендикулярна ВС, то есть ABCD-прямоугольник

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы