В треугольнике АВС угол С=60градусов. На стороне АС отмечена точка Д так что угол ВДС=60градусов, а угол АВД=30градусов. Докажите, что АД=ВС. Докажите, что периметр треугольника АВС меньше пяти длин ВС.
1) Рассмотрим треугольник ВДС. угол С=60 градусов, угол ВДС=60 градусов, тогда по сумме углов треугольника угол ДВС=60 градусов, тогда он равносторонний. Тогда ВС=ДС=ВД.
2) Рассмотрим треугольник АВД. угол АВС=30 градусов, тогда угол АДВ=180 - 60 = 120 градусов (т.к. угол АДВ - развернутый). По сумме углов треугольника получается, что угол А = 30 градусов, а угол АВС тоже равен 30 градусов. Тогда треугольник АВД - равнобедренный по признаку (углы при основании равны), а тогда АД=ВД.
3) т.к. АД=ВД, ВД=ВС по доказанному, тогда АД=ВД, АД=ВС.
4) АС=2ВС, т.к. АД=ВС, ДС=ВС по доказанному.
5) Получается, что гипотенуза в 2 раза больше катета. АС=2ВС, пусть ВС=х, тогда АС=2х.
АС²=АВ²+ВС²
АВ²=(2х)²-х²
АВ²=4х²-х²
АВ²=3х²
АВ=х√3
АВ=ВС√3
6) т.к. периметр треугольника равен АВ+ВС+АС, тогда периметр равен АВ+3ВС
т.к. АВ=ВС√3, а для того, чтобы периметр был хотя бы равен 5ВС, то нужно, чтобы АВ было равно 2ВС, не иначе как равно ВС√4. Если сравнить √4 и √3, то мы увидем, что подкоренное число 4>3, а это значит, что ВС√3<2ВС, а между тем АВ=ВС√3. Следовательно периметр равен 3ВС+ВС√3, что меньше чем 5ВС (мы это только что доказали).
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
