основанием пирамиды служит треугольник с углами a и b. Высота пирамиды равна h, боковые ребра образуют с плоскостью основания угол Y. Вычислить объем пирамиды.

боковые ребра образуют с плоскостью основания угол Y, значит вершина пирамиды проэктируется в центр описанной окружности

$frac{h}{R}=tg gamma$

Радиус описанной окружности равен

$R=frac{h}{tg gamma}=h*ctg gamma$

По расширенной теореме синуса стороны треугольника в основании равны

$a=2R*sin alpha=2h*ctg gamma*sin alpha$

$b=2R*sin beta=2h*ctg gamma*sin beta$

Площадь основания (треугольника) равна

$S_o=frac{1}{2}*ab*sin C=frac{1}{2}*2h*ctg gamma*sin alpha*2h*ctg gamma*sin beta*sin(180^o-alpha-beta)=2h^2*ctg^2 gamma*sin alpha*sin beta*sin (alpha+beta)$

Обьем пирамиды равен

$V=frac{1}{3}*S_o*h=frac{1}{3}*2h^2*ctg^2 gamma*sin alpha*sin beta*sin (alpha+beta)*h=frac{2h^3*ctg^2 gamma*sin alpha*sin beta*sin (alpha+beta)}{3}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы