В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2, а прилежащий угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.

Чертеж к задаче во вложении.

∆ АВС - прямоугольный, ∠С=90°, ∠А=30°. Следовательно, гипотенуза АВ является диаметром описанной окружности (основания цилиндра) и АВ=2ВС. По теореме Пифагора

$AB^2=BC^2+AC^2 (2BC)^2=BC^2+2^2 BC^2=frac{4}{3} BC=frac{2sqrt3}{3} AB=frac{4sqrt3}{3}$

Рассмотрим прямоугольный ∆ ВАА. У него по условию ∠B=45°, следовательно ∠А=90°-45°=45°. Поэтому ∆ ВАА - равнобедренный с основанием BА. Значит,

$AA=AB=H=frac{4sqrt3}{3} V=pi R^2H R=frac{1}{2}AB=BC=frac{2sqrt3}{3} V=pi (frac{2sqrt3}{3})^2*frac{4sqrt3}{3}=frac{16pi sqrt3}{9}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы