На сторонах прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих квадратов.
1. Я продолжаю катеты за вершины острых углов - катет a на величину второго катета b, и наоборот. Если через полученные точки, отстоящие от вершины прямого угла треугольника на (a + b), провести линии параллельно катетам до пересечения, то получится квадрат со стороной (a + b).
2. Вершины квадрата, построенного на гипотенузе, лежат на сторонах построенного квадрата (подобное построение используется в одном из доказательств теоремы Пифагора).
3. Если повернуть построенный квадрат (со стороной (a + b) ) на 90° вокруг его центра, то он перейдет "сам в себя". При этом вершины вписанного в него квадрата, построенного на гипотенузе исходного треугольника, тоже перейдут в себя. Поэтому центры этих квадратов совпадают.
4. Таким образом, отрезок p, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного на гипотенузе, равен половине диагонали квадрата со стороной (a + b) и образует с катетами углы в 45°. Его величина равна p = (a + b)√2/2;
5. Отрезок q, соединяющий центры квадратов, построенных на катетах, очевидно, проходит через вершину прямого угла, равен q = (a + b)√2/2 и тоже образует с катетами углы 45°. Поэтому отрезки p и q взаимно перпендикулярны, и можно считать p высотой в заданном в задаче треугольнике (при этом q - основание).
Окончательно S = p*q/2 = (a + b)^2/4 = (6 + 8)^2/4 = 49
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
