Пусть Н-точка пересечения высот треугольника АВС, а АА- диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок АН делит сторону ВС пополам.
Подсказка:Учесть, что АС перпендикулярен АC и использовать свойства параллелограмма.
Ну, эта задача сама по себе очень простая - CH и AB перпендикулярны AB, то есть CH II AB; и точно так же BH и AC перпендикулярны AC; то есть ABHC - параллелограмм, а у него диагонали делятся пополам в точке пересечения.
То есть если M - середина ВС, то М - так же и середина AH.
Интересно вот что. В треугольнике AAH получилось, что AM и ОН - медианы, то есть они делятся точкой их пересечения G в пропорции 1/2, считая от О. То есть 2*OG = GH; При этом AM - медиана треугольника АВС, и G расположена как раз в точке пересечения медиан треугольника АВС (то есть на расстоянии AG = 2*GM, то есть у треугольников АВС и АAH совпадают точки пересечения медиан.).
Это означает, что в произвольном треугольнике точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с центром описанной окружности и делит это отрезок в пропорции 1/2, считая от центра описанной окружности.
Это - знаменитая теорема Эйлера. :))) - между прочим ... а прямая ОН называется прямой Эйлера :)))
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
